... et tu as vérifié la bobine d'allumage, le fil qui va de la bobine à la bougie et l'antiparasite Je sais ça fait un peu neuneu  ce que je dis mais on sait jamais ....

J'ai réessayé, toujours pareil. En fait elle se met à cafouiller et à pétarader:
- 1ère : très peu
- 2ème aux alentours de 30 Kmh
- 3ème  à partir de 50 Kmh
- 4ème  à partir de 70 Kmh
- 5ème  à partir de 80 Kmh

je mets mon petit grain de sel car j'avais les mêmes symptomes sur mon SL 125 et en fait c'était le carbu qui n'était pas le bon pour le type de moteur que j'avais ( c'etait une SL avec un moteur de 125 S3 et un carbu de SL). En fait les gicleurs et le réglage de hauteur de cuve ne convenait pas au moteur, et à bas régime ou au ralenti ça allait, mais dès qu'on montait dans les tours en roulant ça ratatouillait comme pour ton tw. Bon c'est juste une piste mais ton histoire est quand même "zarbi" ...

...et je viens de relire ton 1er message, tu as chargé ta batterie pendant l'hiver quand tu l'as remisée Perso j'ai un mini chargeur qui maintien la charge quand je m'en sert pas pendant plusieurs semaines, car les batteries actuelle ont une durée de vie assez réduite,alors il faut les chouchouter 

tu peux pas emprunter une autre batterie à un pote ?  Faut procéder par élimination, et je pense qu'il faut commencer par là 

je crois que c'est impossible de vérifier l'ampérage d'une batterie sauf de la mettre en court circuit avec un appareil spécial très brièvement car elle aime pas trop ça !! J'ai vu faire ça  chez un marchand de batterie...

j'ai déjà vu une batterie avec 13v de tension et pas grand chose en ampérage, donc le tension n'est pas forcément une gageure de la bonne santé de la batterie.
En premier j'essaierai avec une batterie dont on est sur de sa capacité (une neuve ou en emprunter une sur une autre moto qui fonctionne).
Sinon au niveau de l'historique de ta moto, le faisceau électrique n'a pas été bidouillé ??

Pour l'histoire des phares, mon comodo n'a que 2 positions = code /phare. pas de position veilleuse , pas de OFF ! Et tout est d'origine 

moi dès que je mets le contact c'est les codes, j'ai pas de veilleuse .

hello
90% des problèmes sont d'origine allumage/carburation, donc je commencerais par là, surtout que tu as roulé sur la réserve si j'ai bien compris (je pencherais pour des merdouilles dans le bas du réservoir donc démontage et nettoyage à la soufflette du carbu et vérif du flotteur de cuve).
Vider le réservoir  et mettre de l'essence d'une autre provenance 
Quand à l'huile moteur, même si ton niveau était bas ça veut pas dire qu'il n'y en avait plus ...

+1 la batterie 
J'ai eu les même symptomes, d'ailleurs c'est un peu bête de pas pouvoir éteindre le phare, car quand la batterie est un peu faible, le démarreur est très gourmand .....
Ou un bon coup de chargeur si elle descend pas en dessous de 9V